Finansta risk, belirsizliğin neden olduğu kaybetme potansiyeli olarak tanımlanabilir. Farklı bir tanım da bir yatırımın gerçek getirisinin beklenen getirisinden farklı sonuçlanmasıdır. Risk alan yatırımcının, yatırımının tamamını ya da bir kısmını kaybetme potansiyeli bulunmaktadır. 

Tanımdan yola çıkarak, bir yatırımın beklenen getirisindeki sapmaların istatistiksel olarak hesaplanması ile riskin ölçülebileceğini söyleyebiliriz. Bu doğrultuda portföy yönetiminde risk, varyans ve standart sapma ile ifade edilmektedir.

Aşağıda ilgili kavramların kısa tanımları ve formülleri ile portföy yönetiminde kullanım şekilleri özetlenmektedir (Bu yazının daha iyi anlaşılması adına öncelikle "beklenen getiri" başlıklı yazının okunması gerekmektedir ):

Varyans (Variance) Nedir, Nasıl Hesaplanır?

Varyans bir veri setinin ortalama değer etrafındaki dağılımını ölçmek için kullanılmaktadır. Başka bir ifade ile varyans ortalama değere göre volatiliteyi ölçmektedir. Volatilite bir risk göstergesidir, bu nedenle varyans da risk ölçüsü olarak kullanılmaktadır. Varyansın sıfır olması tüm verilerin eşit olduğunu gösterir, yani ortalamadan uzaklaşma yoktur, bunun dışında varyans ancak pozitif bir değer olabilir. Varyans değerinin artması (büyüklüğü) ilgili verilerin ortalamadan daha fazla uzaklaştığı (dağıldığı) şeklinde yorumlanır.

Varyans aşağıdaki formüller aracılığı ile hesaplanabilir.  Birinci formül beklenen getirinin tarihsel veriler kullanılarak hesaplandığı, ikinci formül ise beklenen getirinin olasılıklar üzerinden hesaplandığı durum için kullanılmaktadır (Varyans; VAR( ) ya da σ² (sigma) sembolleri ile gösterilmektedir);

Varyans Hesaplama Formülü (1):

Yukarıdaki formüle göre tarihsel veriler ile beklenen getiri arasındaki farkların karesi tek tek hesaplanmakta ve bu sonuçların aritmetik ortalaması alınmaktadır. Sonuç olarak tarihsel verilerin beklenen getiriden (tarihsel verilerin ortalamasından) ne kadar uzaklaştığını hesaplamış oluruz.

Eğer tarihi verilerin tamamı kullanılamıyorsa, yani 30 yıllık verinin 10 yılı gibi belirli bir dönemin verileri üzerinden hesaplama yapılıyorsa örneklem varyansı kullanmak daha doğru olabilir, ki çoğunlukla bir hisse senedinin varyansı hesaplanırken tarihsel verilerin tamamı kullanılmamaktadır. Bu durumda formülde bölme işlemini n yerine n-1 ile yapmak daha doğru olur. 

Varyans Hesaplama Formülü (2): 

Yukarıdaki formülde P_ij olasılık (ağırlık), R_ij getiri, E(R) ise beklenen getiriyi göstermektedir. Formülü özetlemek gerekirse; her bir senaryo için tahmin edilen getiri ile bu yatırımdan beklenen getirinin farklarının karesi alınmakta, her bir senaryonun olasılık yüzdesi ile ağırlıklandırılmaktadır. Tüm senaryolar için yapılan bu hesaplamaların toplamı ilgili finansal varlığın varyans değerini vermektedir.

Varyans Hesaplama örneği:

Beklenen getiri başlıklı yazıda yer alan olasılık senaryosunu varyans hesaplamasına örnek olarak kullanabiliriz:

Yukarıdaki hesaplamada getirilerin olasılık oranına göre ağırlıklandırıldığı görülmektedir. Tarihsel verileri kullandığımızı, yani birinci formülü kullandığımızı düşünürsek elimizde hisse senedinin örneğin 2001,2002,2003...,2015 yıl sonu getirileri olacaktı, varyans hesaplaması için tek yapmamız gereken her bir yılın sonuçlanmış getirileri ile tüm yılların getirilerinin ortalamasının farkını almak, bu farkların her birinin karesini aldıktan sonra da aritmetik ortalama hesabı yapmak olacaktı.

Standart Sapma (Standard Deviation) Nedir?

Standart sapma varyansın karekökü alınarak hesaplanmaktadır, σ, s ya da SD sembolleri ile gösterilmektedir. Standart sapma formülü σ = √σ² şeklinde yazılabilir. Standart sapma da varyans formülünden hesaplandığı için farklı bir tanımı yoktur, bir veri setinin ortamadan ne kadar uzaklaştığını (saptığını) ölçmek için kullanılır, bir volatilite göstergesi olarak finansta riskin ölçüsüdür. Peki standart sapma ve varyans arasındaki fark nedir, neden iki farklı hesaplama yapıyoruz? Bu fark varyans hesaplamasında verilerin ortalama ile farkının karesi alınırken ortaya çıkmaktadır. Kare alma işlemi ile varyans hesaplaması ortalamaya uzak değerlere daha fazla ağırlık katmaktadır. Varyans sonucunda çıkan değerin artık veri setindeki birimle bir ilgisi bulunmamaktadır. Varyansın karekökü alınarak "sapma" birimi tekrar orjinal veri setinin birimine çevrilmiş olur.

Özet olarak, standart sapma volatilitenin, ve dolayısıyla riskin en temel ölçüsüdür, finans piyasaları ve portföy seçimi için oldukça önemli bir kavramdır. Volatilitesi yüksek bir finansal varlığın standart sapması yüksek, volatilitesi düşük bir finansal varlığın ise standart sapması düşük bir değer olacaktır.

Portföy teorisi getirilerin normal dağılım gösterdiğini varsaymaktadır. Bu durumda belli bir getirinin beklenen getiriden uzaklığı aşağıdaki şekilde gösterilebilir;

Yukarıdaki grafikten de görüleceği üzere normal dağılıma göre bir yatırım aracının gerçekleşen getirileri beklenen getirinin (ortalama, μ); %68.2 olasılıkla 1 standart sapma, %95,45 olasılıkla 2 standart sapma, %99,73 olasılıkla 3 standart sapma aralığındadır.

Bu yazıda şu ana kadar tek bir finansal varlığın varyansı ya da standart sapması hesaplandı. Burada özellikle dikkat edilmesi gereken konu ise birkaç finansal varlığın birleşiminden oluşan bir portföyün risk hesaplaması portföyün beklenen getiri hesaplamasından farklıdır. Portföy getirisi portföyü oluşturan yatırım araçlarının ağırlıklı ortalama getirileri hesaplanarak tespit edilebilir, fakat bir portföy riski yatırım araçlarının standart sapmalarının ağırlıklı ortalamaları hesaplanarak tespit edilemez. Portföy riski hesaplanırken portföyü oluşturan varlıklar arasındaki ilişkinin gözardı edilmemesi gerekmektedir.