Portföy çeşitlendirmesinin temeli istatistiksel hesaplara dayanmaktadır. Bu yazıda portföy teorisininin anlaşılması adına büyük önem taşıyan iki istatistiksel kavram olan kovaryans ve korelasyon hakkında bilgiler yer almaktadır. Teknik bir konu olsa da oldukça basit bir şekilde anlatılmaya çalışılmıştır.

Kovaryans ve korelasyon iki değişkenin birbirleri ile ilişkisini ortaya koymak için kullanılmaktadır. Kovaryanstan farklı olarak korelasyon bu ilişkinin derecesini de gösterir. İki değişken birbirleri ile aynı yönde ya da ters yönde hareket ediyorsa bu iki değişkenin "bağımlı" olduğu söylenebilir;

  • Değişkenler aynı yönde hareket ediyorsa iki değişken arasında pozitif bağ vardır.
  • Değişkenler birbirlerine ters yönde hareket ediyorsa, yani birisi artarken diğeri azalıyorsa aralarında negatif bağ vardır.

Yukarıdaki iki koşula finans dünyasından örnekler bulmak oldukça kolaydır; herhangi bir ekonomi kanalında faiz oranları ile borsa arasında negatif ilişki olduğuna, ya da belirli bir dönemde bir ülke borsası ile Türkiye borsası arasında pozitif ilişki olduğuna dair yorumlar ile oldukça sık karşılaşılabilir. Peki bu ilişkiler nasıl tespit edilebilir? Aşağıda negatif ve pozitif bağ içeren iki değişkenin grafiksel gösterimi bulunmaktadır.

Birinci grafikte ekonomik büyümedeki artış ile borsa getirisi arasındaki pozitif bağ, ikinci grafikte ise petrol arzı ile petrol fiyatları arasındaki negatif bağ gösterilmiştir. Grafikler tamamen örnektir, ilişkiler farklı şekilde gerçekleşmiş olabilir. Grafiklerde bir değişkenin diğerine bağımlı olduğu görülebilir. Borsa getirisi ve petrol fiyatları bağımlı değişken, ekonomik büyüme ve petrol üretimi ise bağımsız değişkenlerdir. Ek olarak bu örneklerdeki ilişkilerin bir doğruya yakın olduğuna fakat tam olarak doğrusal fonksiyon şeklinde gerçekleşmediğine dikkat ediniz.negatif ve pozitif bağ

Kovaryans ve korelasyon formülleri kullanılarak bu ilişkilerin nasıl tanımlandığına ve daha basit bir şekilde nasıl gösterildiğine aşağıdaki bölümde yer verilmiştir; 

Kovaryans nedir, nasıl hesaplanır?

Daha önce de belirtildiği gibi kovaryans iki değişkenin birbirleri ile olan ilişkisini göstermektedir. Aşağıda kovaryans formülü görülebilir; hesaplama sonucunda elde edilecek pozitif bir rakam değişkenler arasında pozitif bağ olduğunu (aynı yönde hareket ettiklerini), negatif bir sonuç ise negatif bir bağ olduğunu (Ters yönde hareket ettiklerini) gösterir.

kovaryans formülü

COV(x,y): x bağımsız değişkeni ile y bağımlı değişkeninin kovaryansı.

xi: x değişkeni

yi: y değişkeni

x-x değişkenlerinin ortalaması

y-y değişkenlerinin ortalaması

n: Toplam data sayısı (Örn: Yukarıdaki grafikteki kırmızı noktalar)

Aşağıda ekonomik büyüme ve borsa getirisine dair örnek bir hesaplama görülebilir (değerler hayalidir);

Ekonomik Büyüme % Borsa Getirisi %
2.1 8
2.5 12
4.0 14
3.6 10

Örnekte ekonomik büyüme bağımsız değişken (x), borsa getirisi bağımlı değişkendir (y). Öncelikle x ve y datalarının ayrı ayrı ortalamalarını alarak x- ve y- değerlerini hesaplayalım:

n = 4

x = 2.1, 2.5, 4.0, 3.6

y = 8, 12, 14, 10

x- = (2.1+2.5+4.0+3.6)/4=3.1

y-= (8+12+14+10)/4=11

Bu durumda;

Cov(x,y)= [(2.1-3.1)(8-11) + (2.5-3.1)(12-11) + ...] / (4-1) = 1.53 

Hesaplama sonucu pozitif bir değerdir. Bu durumda sonuç bu iki değişken arasında pozitif bir bağ olduğu şeklinde yorumlanmalıdır. 

Özet olarak kovaryans hesaplaması sonucunda çıkan değerin büyüklüğü değil pozitif, negatif ya da sıfır olması önemlidir. Sıfır değeri iki değişken arasında bir bağ olmadığını, pozitif ve negatif değerler ise aynı yönde ya da ters bağ olduğunu gösterir.

Değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini ise korelasyon katsayısı ile ölçmek mümkündür;

Korelasyon nedir, nasıl hesaplanır?

Kovaryans değişkenlerin hareket yönünü gösterirken korelasyon iki değişkenin birbirine ne kadar benzerlikte hareket ettiğini gösterir. Korelasyon katsayısı 1 ve -1 arasında bir değer alır;

  • Korelasyon katsayısı 1'e eşitse değişkenler arasında tam pozitif korelasyon, ya da doğrusal bağ bulunmaktadır. Değer 1'e ne kadar yakında bağ da o kadar kuvvetlidir.
  • Katsayı sıfıra eşitse herhangi bir bağdan bahsedilemez. Bu durumda bir değişkenin yönüne bakılarak diğer bir değişkenin nasıl hareket edeceği tahmin edilemez.
  • Katsayı -1'e eşitse tam negatif korelasyondan bahsedilebilir. Değer -1'e ne kadar yakınsa değişkenler de birbirlerinden o kadar farklı yönde hareket eder.

Korelasyon katsayısı formülü ise şu şekildedir;

korelasyon katsayısı formülü

r(x,y): x ve y değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı

COV (x,y)x bağımsız değişkeni ile y bağımlı değişkeninin kovaryansı.

Sx: x değişkeninin standart sapması

Sy: y değişkeninin standart sapması

Yukarıda yer alan ekonomik büyüme ve borsa getirisi örneği kullanılarak bu iki değişken arasındaki korelasyon hesaplaması yapılmıştır;

Kovaryans hesaplaması daha önceden yapılmış ve 1.53 sonucu elde edilmişti. Bu durumda standart sapmaların hesaplanması ve formülde yerine konması yeterlidir. Standart sapma formülü aşağıdadır; 

 standart sapma formülü

Hesaplamalar sonucunda sx=0.90, sy=2.58 bulunabilir. 

r(x,y)= 1.53 / (0.90)(2.58) = 0.66

Hesaplama sonucu pozitiftir ve 1 değerine oldukça yakındır. Bu durumda örneğimize göre ekonomik büyüme ve borsa getirisi arasında güçlü pozitif bağ bulunmaktadır.

Nedensellik ile korelasyon birbirine karıştırılmamalıdır. Sebep sonuç ilişkisi içermeyen bir çok değişken arasında yüksek korelasyon tespit edilebilir. Örneğin yağmur yağan günler ile borsanın düştüğü günler arasında bir korelasyon bulunabilir, fakat yağmurun yağması borsanın düşmesinin sebebi olmayabilir. Bu nedenle özellikle finans piyasalarında bağımlı ve bağımsız değişkenler seçilirken dikkat edilmelidir, aksi takdirde yanlış yorumlar kaçınılmaz olur.

Son söz olarak kovaryans ve korelasyon katsayısı finans, tıp ya da pazarlama gibi bir çok alanda yoğun olarak kullanılmaktadır. Günümüzde korelasyon ve kovaryans hesaplamalarının kolayca yapılmasını sağlayan bir çok araç bulunmaktadır. Bu yazının asıl amacı bu iki istatistiksel kavramın portföy yönetimi için ne anlama geldiğine dair ön bilgiyi vermektir.

*Bu yazıdaki grafik ve örnek hazırlanırken Columbia Üniversitesi (http://www.columbia.edu/) PreMBA programı dökümanlarından faydalanılmıştır.

Onur CEYLAN
Author: Onur CEYLANWebsite: https://tr.linkedin.com/in/onurceylanEmail: Bu e-Posta adresi istenmeyen posta engelleyicileri tarafından korunuyor. Görüntülemek için JavaScript etkinleştirilmelidir.
Hakkımda
Yatırımcı, Finans ve Sermaye Piyasası Uzmanı ( S P K ileri düzey lisansı ve türev araçlar lisansı sahibiyim. Eski bankacıyım, uzun süredir bireysel yatırım portföyümü yönetiyorum. Piyasarehberi.org sitesindeki yazılar finansal okur yazarlığa katkıda bulunmak amacıyla tarafımdan yazılmaktadır, site içeriği izinsiz ve kaynak gösterilmeden kullanılamaz ).